29. Αφαίρεση ρητών αριθμών

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Αφαίρεση ρητών αριθμών

1.1 Ορισμός της διαφοράς \(a - \beta\) ως λύση της εξίσωσης \(\beta + x = a\)

Θεωρία, Ορισμοί και Ιδιότητες

  • Ορισμός: Διαφορά δύο ρητών αριθμών \(a\) (μειωτέος) και \(\beta\) (αφαιρετέος) ονομάζεται ένας τρίτος αριθμός \(x\), ο οποίος, όταν προστεθεί στον δεύτερο (\(\beta\)), δίνει ως άθροισμα τον πρώτο (\(a\)).

  • Λογική Ισοδυναμία: Η πράξη της αφαίρεσης είναι αντίστροφη της πρόσθεσης. Αυτό εκφράζεται συμβολικά ως: \(a - \beta = x \iff \beta + x = a\).

  • Ιδιότητες:

    1. Η διαφορά δύο ίσων αριθμών είναι πάντα μηδέν (\(a - a = 0\)).
    2. Η αφαίρεση \(a - \beta\) είναι δυνατή στο σύνολο των ρητών για οποιουσδήποτε αριθμούς, σε αντίθεση με τους φυσικούς όπου απαιτείται \(a \geq \beta\).

Παραδείγματα

  1. \(16 - 7 = 9\) γιατί \(7 + 9 = 16\).
  2. \(20 - 13 = 7\) γιατί \(13 + 7 = 20\).
  3. \(12 - 12 = 0\) γιατί \(12 + 0 = 12\).
  4. Η εξίσωση \(x + 18 = 30\) λύνεται ως \(x = 30 - 18 = 12\).
  5. Η εξίσωση \(15 - x = 8\) λύνεται ως \(x = 15 - 8 = 7\).

Ασκήσεις

  1. Βρείτε το \(x\) στην εξίσωση \(x + 3 = 10\).
  2. Λύστε την εξίσωση \(x + 8 = 12\).
  3. Συμπληρώστε την ισότητα \(18 - \dots = 12\).
  4. Βρείτε τον αριθμό που αν προστεθεί στο \(18\) δίνει \(30\).
  5. Λύστε την \(25 + x = 30\).
  6. Υπολογίστε τη διαφορά \(527 - 31\) χρησιμοποιώντας τον ορισμό.
  7. Αν \(x - 5 = 13\), ποια είναι η τιμή του \(x\);.
  8. Λύστε την εξίσωση \(20 - x = 12\).
  9. Συμπληρώστε: \(\dots - 10 = 16\).
  10. Ποιος αριθμός \(x\) επαληθεύει την \(x - 23 = 1\);.
  11. Αν \(a + \beta = a\), τι συμπεραίνετε για τη διαφορά \(a - a\);.
  12. Βρείτε τη διαφορά του \(120\) από το \(80\) μέσω εξίσωσης.
  13. Λύστε την \(x + 17 = 20\).
  14. Συμπληρώστε την ισοδυναμία: \(18 + 12 = 30 \iff \dots\).
  15. Γιατί η \(9 - x = 15\) θεωρείται αδύνατη στο σύνολο των φυσικών αριθμών;.

1.2 Εύρεση διαφοράς δύο ρητών αριθμών

Θεωρία, Ορισμοί και Ιδιότητες

  • Κανόνας: Για να αφαιρέσουμε έναν ρητό αριθμό από έναν άλλο, προσθέτουμε στον μειωτέο τον αντίθετο του αφαιρετέου .

\[α-β=α+(-β)\]

  • Ομώνυμα Κλάσματα: Η διαφορά δύο ομώνυμων κλασμάτων είναι κλάσμα με αριθμητή τη διαφορά των αριθμητών και τον ίδιο παρονομαστή.

  • Ετερώνυμα Κλάσματα: Τα τρέπουμε πρώτα σε ομώνυμα και μετά αφαιρούμε τους αριθμητές.

  • Βασική Ιδιότητα: Η διαφορά δύο αριθμών δεν μεταβάλλεται αν προσθέσουμε ή αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό και στους δύο όρους.

Παραδείγματα

  1. \(87 - 37 = (87 + 3) - (37 + 3) = 90 - 40 = 50\).
  2. \(\dfrac{7}{5} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{7-4}{5} = \dfrac{3}{5}\).
  3. \(\dfrac{12}{9} - \dfrac{4}{5} = \dfrac{60}{45} - \dfrac{36}{45} = \dfrac{24}{45}\).
  4. \(4 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{20}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{17}{5}\).
  5. \((+5) - (-7)\)
  • Λύση: Μετατρέπουμε την αφαίρεση σε πρόσθεση του αντιθέτου: \(5 + (+7) = 12\).
  1. \((-8) - (+8)\)
  • Λύση: Προσθέτουμε στον \(-8\) τον αντίθετο του \(+8\): \(-8 + (-8) = -16\).
  1. \((-2) - (-15,2)\)
  • Λύση: Προσθέτουμε στον \(-2\) τον αντίθετο του \(-15,2\): \(-2 + (+15,2) = +13,2\).
  1. \(14,55 - 18,45\)
  • Λύση: Επειδή ο αφαιρετέος είναι μεγαλύτερος, το αποτέλεσμα είναι αρνητικό: \(14,55 - 18,45 = -3,9\).
  1. \((+18) - (-3)\)
  • Λύση: Προσθέτουμε στον \(+18\) τον αντίθετο του \(-3\): \(18 + (+3) = +21\).

Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε τη διαφορά \(257 - 119\).
  2. \(\dfrac{43}{53} - \dfrac{3}{53} = \dots\).
  3. \(1 - \dfrac{2}{3} = \dots\).
  4. \(\dfrac{15}{20} - \dfrac{11}{20} = \dots\) .
  5. Υπολογίστε νοερά το \(285 - 79\) (προσθέτοντας 1 και στους δύο όρους).
  6. \(\dfrac{9}{10} - \dfrac{3}{4} = \dots\).
  7. Βρείτε τη διαφορά \(7 - \dfrac{4}{7}\) .
  8. \(\dfrac{8}{15} - \dfrac{5}{12} = \dots\).
  9. Απλοποιήστε τη διαφορά \(\dfrac{39}{18} - \dfrac{6}{12}\).
  10. \(167 - 14 = \dots\).
  11. \(\dfrac{187}{68} - \dfrac{187}{68} = \dots\).
  12. Βρείτε τη διαφορά \(a - \dfrac{3}{4}\).
  13. Ποια είναι η διαφορά των αντίστροφων των \(2\) και \(5\); .
  14. \(204 - 69 = \dots\).
  15. Υπολογίστε το \(x\) αν \(x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}\).

1.3 Υπολογισμός αριθμητικών παραστάσεων

Θεωρία και Ορισμοί

  • Ορισμός: Μια σειρά διαδοχικών προσθέσεων και αφαιρέσεων ονομάζεται αριθμητική παράσταση.

  • Τιμή: Το τελικό αποτέλεσμα των πράξεων.

  • Στρατηγική Υπολογισμού: Μπορούμε να εκτελούμε τις πράξεις με τη σειρά ή να ομαδοποιούμε χωριστά όλα τα ποσά με πρόσημο (+) και χωριστά αυτά με (-) και μετά να κάνουμε μια τελική αφαίρεση.

Παραδείγματα

  1. \((+30) - (+12) +(+8) +(- 4)+ (- 6) = 16\).
  2. \((+15) -(+6) - (-8) - (+10) = 17\) .
  3. \(-(-45) -(-5) -(+4) + (+12) -(+9) +(- 2) = 47\).
  4. \(\left[(+5000) + (+3000)\right] - \left[(+2000) + (+1500)\right] = 8000 - (+3500) = +4500\).
  5. \(3a + 4\beta + 6\gamma + 8 + 9a + 2\beta + 16 = 12a + 6\beta + 6\gamma + 24\).

Ασκήσεις

  1. \(-(-24) - (+32) - (-68) + (+9) +(- 6) - (+25) = \dots\).
  2. \((-19) - (-4) + (+21) -(-27) - (+18) + (-12) - (-34) = \dots\).
  3. \((-321) + (+100) - (-204) - (+28) + (-5) - (-67) = \dots\).
  4. \((-130) - (+70) + (-20) - (-12) - (+19) - (+27) - (-4) = \dots\).
  5. \((+45) - (-10) - (+28) + (+30) - (-11) - (+17) - (-31) = \dots\).
  6. \((-84) - (+32) - (+29) + (-106) - (-94) + (+17) = \dots\).
  7. \(-(-145) - (+40) - (-35) + (+50) - (+27) = \dots\).
  8. \((-38) +(- 12) + (-27) -(+ 15) - (-7) = \dots\).
  9. Υπολογίστε το \(15 + a - 12 + 7 - 25\) αν είναι ίσο με \(5\).
  10. Βρείτε την τιμή του \(18 - 6 + a - 4\) αν είναι ίση με \(a\).
  11. \(-(+25 + (-4) - (-13) - (+5) + (-19) - (-8) + (+12) = \dots\).
  12. \((+98) - (+13) - (-24) - (+17) + (+8) = \dots\).
  13. \((-145) - (-40) - (+35) + (-50) = \dots\).
  14. \((+201) -(+49) - (+79) +(- 48) = \dots\).
  15. \((-1235) - (+280) + (-75) - (+110) = \dots\).
  16. Να υπολογίσετε τις παρακάτω διαφορές χρησιμοποιώντας τον κανόνα της πρόσθεσης του αντιθέτου:

    1. \((-9) - (+5)\)

    2. \(0 - (-18)\)

    3. \((-17) - (-2)\)

    4. \((-22) - (+7)\)

    5. \((-17,82) - (-4,45)\)

    6. \(\left(+\dfrac{12}{5}\right) - \left(-\dfrac{10}{3}\right)\)

    7. \((-21,4) - (+12,8)\)

    8. \(\left(-\dfrac{400}{7}\right) - \left(+\dfrac{25}{6}\right)\)

    9. \((+0,0025) - (-11,3)\)

    10. \((-8,3) - (-1,7)\)

1.4 Απαλοιφή παρενθέσεων

Θεωρία και Κανόνες

  1. Όταν μπροστά από μια παρένθεση υπάρχει το σύμβολο «+» (ή καθόλου πρόσημο), την απαλείφουμε μαζί με το «+» και γράφουμε τους όρους που περιέχει με τα ίδια πρόσημά τους. \[+(-8)=-8\] \[+(+12)=+12\]
  2. Όταν μπροστά από μια παρένθεση υπάρχει το σύμβολο «-», την απαλείφουμε μαζί με το «-» και γράφουμε τους όρους που περιέχει με αλλαγμένα (αντίθετα) πρόσημα. \[-(+34)=-34\] \[-(-86)=+86\]
  3. Συμβουλή: Αν υπάρχουν αντίθετοι αριθμοί, τους διαγράφουμε αμέσως για ευκολότερους υπολογισμούς.
  • Προτεραιότητα: Η εσωτερική παρένθεση υπολογίζεται πριν από την αγκύλη [ ].

Παραδείγματα

  1. \(12 - (9 - 4) = (12 + 4) - 9 = 16 - 9 = 7\).
  2. \(30 - (8 + 5 + 10) = 30 - 8 - 5 - 10 = 7\).
  3. \(10 + (7 - 3) = (10 + 7) - 3 = 14\).
  4. \(12 - (a + 7 - \beta) = 12 - a - 7 + \beta = 5 - a + \beta\).
  5. \(24 - (47 - a) = 24 - 47 + a = a - 23\).
Συμβουλή

Η σημασία των συμβόλων ομαδοποίησης

Οι παρενθέσεις ( ) και οι αγκύλες [ ] χρησιμοποιούνται για να δηλώσουν ότι οι πράξεις που περιέχονται μέσα σε αυτές πρέπει να εκτελεστούν πριν από τις υπόλοιπες πράξεις της παράστασης.

  • Παρενθέσεις ( ): Χρησιμοποιούνται συνήθως για την πρώτη ομαδοποίηση πράξεων.

  • Αγκύλες [ ]: Χρησιμοποιούνται όταν υπάρχει ανάγκη να τοποθετηθεί μια παρένθεση μέσα σε μια άλλη ομαδοποίηση, ώστε να αποφεύγεται η σύγχυση.

Ο κανόνας της προτεραιότητας (Από μέσα προς τα έξω)

Όταν μια παράσταση περιέχει “εγκιβωτισμένες” παρενθέσεις (δηλαδή παρενθέσεις μέσα σε αγκύλες ή και άγκιστρα), η εκτέλεση των πράξεων ακολουθεί την εξής ιεραρχία:

  • Οι εσωτερικές παρενθέσεις έχουν προτεραιότητα. Πάντα εκτελούνται πρώτα οι πράξεις στην πιο εσωτερική παρένθεση.

  • Στη συνέχεια εκτελούνται οι πράξεις μέσα στις αγκύλες, οι οποίες περιβάλλουν τις παρενθέσεις.

  • Αφού υπολογιστούν τα εξαγόμενα των παρενθέσεων, αυτά αντικαθιστούν την παρένθεση στην παράσταση και η διαδικασία συνεχίζεται.

Σειρά των πράξεων μέσα στις παρενθέσεις

Ανεξάρτητα από το αν βρισκόμαστε μέσα σε παρένθεση ή στο κύριο σώμα της παράστασης, ισχύουν οι εξής κανόνες:

  1. Πολλαπλασιασμοί (και διαιρέσεις): Προηγούνται πάντα των προσθέσεων και των αφαιρέσεων.

  2. Προσθέσεις και Αφαιρέσεις: Εκτελούνται τελευταίες.

Αν υπάρχουν παρενθέσεις μέσα σε παρενθέσεις, ο κανόνας “πρώτα οι πράξεις στις παρενθέσεις” υπερισχύει του πολλαπλασιασμού.

Παράδειγμα Επίλυσης

της παράστασης: \(\Sigma = (2 + 3) + [8 + (20 + 4)]\):

  1. Υπολογισμός εσωτερικών παρενθέσεων:

  • \((2 + 3) = 5\)

  • \((20 + 4) = 24\)

  1. Αντικατάσταση στην παράσταση: Η παράσταση γίνεται \(\Sigma = 5 + [8 + 24]\).

  2. Υπολογισμός της αγκύλης: \([8 + 24] = 32\).

  3. Τελική πράξη: \(\Sigma = 5 + 32 = 37\).

Απαλοιφή Παρενθέσεων (Αλγεβρικός τρόπος)

Σε περιπτώσεις με γενικούς αριθμούς (γράμματα), οι παρενθέσεις μπορούν να “απαλειφθούν” με βάση τις ιδιότητες της πρόσθεσης και της αφαίρεσης:

  • Πρόσθεση αθροίσματος: \(a + (\beta + \gamma) = a + \beta + \gamma\).

  • Αφαίρεση αθροίσματος: \(a - (\beta + \gamma) = a - \beta - \gamma\) (αλλάζουν τα πρόσημα όλων των όρων μέσα στην παρένθεση).

  • Αφαίρεση διαφοράς: \(a - (\beta - \gamma) = a - \beta + \gamma\).

Ασκήσεις

  1. Απαλείψτε τις παρενθέσεις: \(104 + (52 - 38) - (46 - 17)\).
  2. \(31 - (27 - 12) + (41 - 38) = \dots\).
  3. \(87 - (23 + 37 + 8 - 18 - 2) = \dots\).
  4. \(179 - (36 - 17 + 45 - 36 - 11) = \dots\).
  5. Απλοποιήστε: \(54 + (a - 7) - (\beta + 6 + \gamma)\).
  6. \(a - (\beta - 8) - (\gamma + 10) = \dots\).
  7. \((7 + a + \beta) - (2 - \gamma) = \dots\).
  8. \((15 - a) + \beta - (30 - a) = \dots\).
  9. \((57 + 24 - 36) - (21 + 43 - 29) = \dots\).
  10. \(625 - (100 - 75) - (428 - 208) = \dots\).
  11. \(20 - (a + 8 + \beta) = \dots\).
  12. \(a - (\beta + 12 + \gamma) = \dots\).
  13. \(43 + (10 - a) = \dots\).
  14. \(50 - (8 - a) = \dots=\cdots\).
  15. \((5a + \beta + \gamma) - (a - \beta + \gamma) = \dots=\cdots\).
  16. \(6 + (2 + 3 + 7)=\cdots\)
  17. \(4 + 8 + (3 + 5)=\cdots\)
  18. \((8 + 4) - (2 + 5)=\cdots\)
  19. \(12 + (5 + 7) - (15 - 18 + 13)=\cdots\)
  20. \((24 + 7) - (6 - 11) + (9 + 33)=\cdots\)
  21. \(31 - (27 - 12) + (41 - 38)=\cdots\)
  22. \(87 - (23 + 37 + 8 - 18 - 2)=\cdots\)
  23. \(179 - (36 - 17 + 45 - 36 - 11)=\cdots\)
  24. \(104 + (52 - 38) - (46 - 17) + 24 - (8 + 21 + 37 - 12 - 15)=\cdots\)
  25. \((57 + 24 - 36) - (21 + 43 - 29) + 74 - (11 - 7)=\cdots\)
  26. \(625 - (100 - 75) - (428 - 208)=\cdots\)
  27. \([(23 + 18) - 16] + 10=\cdots\)
  28. \(13 - (3 - 5) + [8 - (7 + 6) + (10 - 4)]=\cdots\)

…… ασκήσεων συνέχεια

Ακέραιαοι

  1. \((+4) + (+9) - (+5) + (+8) - (-5) + (+4) + (-1)=\cdots\).
  2. \((-15) + (-20) - (-30) + (+40) + (+65) - (+12)=\cdots\).
  3. \(-(-8) + (+10) + (-13) - (+4) - (-7)=\cdots\).
  4. \((+15) - (+4) + (+7) - (+10) + (-5) + (-8)=\cdots\).

Ασκήσεις με Δεκαδικούς

  1. \((+5,6) + (+8,7) - (+3,2) - (+6,9) + (+3,2) - (+7,4)=\cdots\).
  2. \(-(-1,8) + (+4,8) + (+9,7) + (-4,8) - (+3,4) + (+1,5)=\cdots\).
  3. \(-(-0,6 + 4) + (2,3 - 4,7 - 0,5) - 9 - (5,7 - 2,3 + 3)=\cdots\).

Ασκήσεις με Κλάσματα

  1. \(+\left(+\dfrac{3}{4}\right) + \left(+\dfrac{1}{2}\right) - \left(+\dfrac{5}{6}\right) - \left(+\dfrac{7}{12}\right)=\cdots\).
  2. \(-\left(-3\dfrac{1}{4}\right) - \left(-2\dfrac{1}{3}\right) + \left(+1\dfrac{1}{2}\right) - \left(+2\dfrac{5}{6}\right)=\cdots\).
  3. \(\left(\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{3}\right) - \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\right) + \left(-2\dfrac{1}{3} - 2\right)=\cdots\).

Ασκήσεις με Ακεραίους και Δεκαδικούς

  1. \((+4) + (+5) + (-8) + (+7) + (+8) + (-9)=\cdots\).
  2. \((-15) + (-20) + (-30) + (+40) + (+65) + (-12)=\cdots\).
  3. \((+3) - 7 + 2 + 10 - 3 - 9 + 5 - 2 - 1=\cdots\).
  4. \(11,01 - 41,05 + 9,04=\cdots\) (προσθέστε έναν ακόμη όρο, π.χ. \(+ 10,5\), για την εξάσκηση).
  5. \(-(-0,6 + 4) + (2,3 - 4,7 - 0,5) - 9 - (5,7 - 2,3 + 3)=\cdots\).

Ασκήσεις με Κλάσματα (Πρόσθεση και Αφαίρεση)

  1. \(\left(+\dfrac{3}{4}\right) + \left(+\dfrac{1}{2}\right) + \left(-\dfrac{5}{6}\right) + \left(-\dfrac{7}{12}\right)=\cdots\).
  2. \(\left(-\dfrac{3}{4}\right) - \left(-\dfrac{1}{2}\right) - \left(+\dfrac{5}{6}\right) - \left(+\dfrac{7}{12}\right)=\cdots\).
  3. \(\left(-3\dfrac{1}{4}\right) - \left(-2\dfrac{1}{3}\right) + \left(+1\dfrac{1}{2}\right) - \left(+2\dfrac{5}{6}\right)=\cdots\).
  4. \(\left(\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{3}\right) - \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\right) + \left(-2\dfrac{1}{3} - 2\right)=\cdots\).

…. και παρενθέσεις

  1. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(A = 12 - [5 - (3 - 8) + 2]\)

  2. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(B = -4,5 + [2,2 - (-1,8 + 0,5) - 3,1]\)

  3. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(\Gamma = \dfrac{1}{2} - \left[\dfrac{3}{4} - \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \dfrac{5}{6}\right]\)

  4. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(\Delta = -\{ 10 - [ 5 + (2 - 7) ] - 3 \}\)

  5. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(E = 15,2 - \{ 3,1 + [ 2 - (4,5 - 1,5) ] \}\)

  6. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(Z = - \dfrac{3}{5} + \left\{ - \dfrac{1}{2} - \left[ \dfrac{2}{3} - \left( \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{3} \right) \right] \right\}\)

  7. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(H = 20 - \{ 5 + [ 3 - ( 8 - 12 ) - 2 ] \}\)

  8. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(\Theta = 0,5 - \{ -1,2 + [ 3 - ( 0,8 + 1,2 ) ] \}\)

  9. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(I = - \dfrac{1}{3} - \left\{ \dfrac{2}{5} + \left[ \dfrac{1}{3} - \left( \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{6} \right) \right] \right\}\)

  10. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(K = 10 - \{ 2 - [ 5 - ( 3 - 6 + 1 ) ] \}\)